实变函数笔记20250228
第二章 Lebesgue测度
外测度定义P31:
设A⊆R,A 的外测度 m∗(A):=inf{∑k=1∞l(Ik);A⊂⋃k=1∞Ik;Ik是有限开区间}
零测集定义:
外测度为0的集合称为零测集。
外测度性质:
- 非负性:m∗(A)≥0
- 空集的外测度为0:m∗(∅)=0
- 单调性
P31:A⊆B⇒m∗(A)≤m∗(B)
- 可数集的外测度为0
P31。证明过程见P31
命题 1
区间的外测度等于其长度P31
命题 2
平移不变性P33:
∀A⊆R,x∈R,m∗(A+x)=m∗(A)
命题 3
可数次可加性P33:
m∗(⋃k=1∞Ek)≤∑k=1∞m∗(Ek)
推论
Cantor集 C 为零测集:
m∗(C)=0
命题
d(E1,E2)>0⇒m∗(E1∪E2)=m∗(E1)+m∗(E2)
其中 d(E1,E2)=inf{d(p1,p2);p1∈E1,p2∈E2}
可测定义
E⊆R. E 可测⇔∀A⊆R,m∗(A)=m∗(A∩E)+m∗(A∩EC)
推论
- E 可测 ⇔EC 可测
- E 可测 ⇔E+x 可测
- E1 可测且 E1∩E2=∅ ⇒m∗(E1∪E2)=m∗(E1)+m∗(E2)
- E 可测 ⇐∀A⊆R,m∗(A)≥m∗(A∩E)+m∗(A∩EC)
命题
零测集均可测
命题
E1,E2 可测 ⇒E1∩E2,E1∪E2 均可测
命题
有限可加性:
{Ei}i=1n可测且两两不交,则有 ∀A⊆R,m∗(A∩(⋃i=1nEi))=∑i=1nm∗(A∪Ei)
命题
可数可测性:
{Ei}i=1∞ 可测 ⇒⋃i=1∞Ei可测
命题
可数可加性:
{Ei}i=1∞可测且两两不交,则有 ∀A⊆R,m∗(A∩(⋃i=1∞Ei))=∑i=1∞m∗(A∪Ei)