实变函数笔记20250228

第二章 Lebesgue测度

外测度定义P31：

设A⊆RA\subseteq \R，AA 的外测度 m∗(A):=inf⁡{∑k=1∞l(Ik);A⊂⋃k=1∞Ik;Ikm^*(A):=\inf\{\sum_{k=1}^{\infty}l(I_k);A\subset \bigcup_{k=1}^{\infty}I_k;I_k是有限开区间}\}

零测集定义：

外测度为00的集合称为零测集。

外测度性质：

  1. 非负性：m∗(A)≥0m^*(A)\geq 0
  2. 空集的外测度为00：m∗(∅)=0m^*(\emptyset)=0
  3. 单调性P31：A⊆B⇒m∗(A)≤m∗(B)A\subseteq B\Rightarrow m^*(A)\leq m^*(B)
  4. 可数集的外测度为0P31。证明过程见P31

命题 1

区间的外测度等于其长度P31

命题 2

平移不变性P33：
∀A⊆R,x∈R,m∗(A+x)=m∗(A)\forall A\subseteq \R ,x\in \R , m^*(A+x)=m^*(A)

命题 3

可数次可加性P33：
m∗(⋃k=1∞Ek)≤∑k=1∞m∗(Ek)m^*(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k)\leq \sum_{k=1}^{\infty}m^*(E_k)

推论

Cantor集 C\mathcal C 为零测集：
m∗(C)=0m^*(\mathcal C)=0

命题

d(E1,E2)>0⇒m∗(E1∪E2)=m∗(E1)+m∗(E2)d(E_1,E_2)>0\Rightarrow m^*(E_1\cup E_2)=m^*(E_1)+m^*(E_2)

其中 d(E1,E2)=inf⁡{d(p1,p2);p1∈E1,p2∈E2}d(E_1,E_2)=\inf\{d(p_1,p_2); p_1\in E_1, p_2\in E_2\}

可测定义

E⊆RE\subseteq \R. EE 可测⇔∀A⊆R,m∗(A)=m∗(A∩E)+m∗(A∩EC)\Leftrightarrow \forall A\subseteq \R, m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^C)

推论

  1. EE 可测 ⇔EC\Leftrightarrow E^C 可测
  2. EE 可测 ⇔E+x\Leftrightarrow E+x 可测
  3. E1E_1 可测且 E1∩E2=∅E_1\cap E_2=\emptyset ⇒m∗(E1∪E2)=m∗(E1)+m∗(E2)\Rightarrow m^*(E_1\cup E_2)=m^*(E_1)+m^*(E_2)
  4. EE 可测 ⇐∀A⊆R,m∗(A)≥m∗(A∩E)+m∗(A∩EC)\Leftarrow \forall A\subseteq \R, m^*(A)\geq m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^C)

命题

零测集均可测

命题

E1,E2E_1,E_2 可测 ⇒E1∩E2,E1∪E2\Rightarrow E_1\cap E_2, E_1\cup E_2 均可测

命题

有限可加性：
{Ei}i=1n\{E_i\}_{i=1}^n可测且两两不交，则有 ∀A⊆R,m∗(A∩(⋃i=1nEi))=∑i=1nm∗(A∪Ei)\forall A\subseteq \R,m^*(A\cap(\bigcup_{i=1}^n E_i))=\sum_{i=1}^n m^*(A\cup E_i)

命题

可数可测性：
{Ei}i=1∞\{E_i\}_{i=1}^{\infty} 可测 ⇒⋃i=1∞Ei\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty}E_i可测

命题

可数可加性：
{Ei}i=1∞\{E_i\}_{i=1}^\infty可测且两两不交，则有 ∀A⊆R,m∗(A∩(⋃i=1∞Ei))=∑i=1∞m∗(A∪Ei)\forall A\subseteq \R,m^*(A\cap(\bigcup_{i=1}^\infty E_i))=\sum_{i=1}^\infty m^*(A\cup E_i)